Тригонометрические функции

Тригонометрические функции Понятие математическая функция величины угла

Отношения с другими понятиями:

Теория:

Тригонометрия

Аналитическая функция:

Тригонометрические функции 

Представители:

• Косинус
• Синус (функция)
• Тангенс

Тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции от величины угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как $\operatorname{versin}$ и $\operatorname{exsec}$, но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции

Функция	Обозначение	Соотношение	Графики
Си́нус	$\sin$	$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$	<externalvalue data="svg">No svg!</externalvalue> Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса
Ко́синус	$\cos$	$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Та́нгенс	$\tg$	$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg\frac{1}{x}$
Кота́нгенс	$\ctg$	$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}=\tg \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg \frac{1}{x}$
Се́канс	$\sec$	$\sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
Косе́канс	$\cosec$	$\cosec x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Рис. 2
Прямоугольный треугольник

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла $\alpha,$ возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол $\alpha$ (см. Рис. 2). Стороны этого треугольника мы будем называть так:

• Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона $c.$
• Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет $a$ — противолежащий по отношению к углу $A.$
• Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет $b$ — прилежащий по отношению к углу $A.$

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна $\pi.$ Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между $0$ и $\frac{\pi}{2}.$ Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha=\frac{a}{c}.$ Это отношение не зависит от выбора треугольника ${ABC}$, содержащего угол $\alpha,$ так как все такие треугольники подобны.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha=\frac{b}{c}.$ Так как $\sin\beta=\frac{b}{c},$ синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tg\,\alpha=\frac{a}{b}.$

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $\ctg\,\alpha=\frac{b}{a}.$ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: $\sec\alpha=\frac{c}{b}.$

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: $\cosec \,\alpha=\frac{c}{a}.$

Из определений тригонометрических функций следует: $$a=c\sin\alpha\,,$$ $$b=c\cos\alpha\,,$$ $$a=b\,\tg\,\alpha,$$ $$b=a\,\ctg\,\alpha,$$ $$c=b\sec\alpha\,,$$ $$c=a\,\cosec \,\alpha,$$

и симметрично: $$b=c\sin\beta\,,$$ $$a=c\cos\beta\,,$$ $$b=a\,\tg\,\beta,$$ $$a=b\,\ctg\,\beta,$$ $$c=a\sec\beta\,,$$ $$c=b\,\cosec \,\beta.$$

Определение тригонометрических функций через окружность

Рис. 3.
Определение тригонометрических функций через окружность.

Рис. 4.
Tригонометрическиe функций угла $\alpha$ в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке $O$ и с осями ${OX}$ и ${OY}$ (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным единице. Пусть отрезок ${OA}$ поворачивается на произвольный угол $\vartheta$ вокруг центра $O.$

Синусом угла $\vartheta$ называется отношение ординаты точки $A$ к длине отрезка ${OA}.$ Обозначают $\sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.$ Так как длина отрезка ${OA}$ равна $1$, то $\sin\vartheta={AC}.$

Косинусом угла $\vartheta$ называется отношение абсциссы точки $A$ к длине отрезка ${OA}.$ Обозначают $\cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.$ Так как длина отрезка ${OA}$ равна 1, то $\cos\vartheta={OC}.$

Тангенсом угла $\vartheta$ называется отношение ординаты точки $A$ к абсциссе точки $A$. Обозначают $\tg\,\vartheta=\frac{AC}{OC}$ (в англоязычной литературе $\operatorname{tan}\vartheta ).$ Так как ${AC}=\sin \vartheta$ и ${OC}=\cos\vartheta,$ то $\tg\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.$

Котангенсом угла $\vartheta$ называется отношение абсциссы точки $A$ к ординате точки $A$. Обозначают $\ctg\,\vartheta=\frac{OC}{AC}$ (в англоязычной литературе $\operatorname{cot}\vartheta ).$ Так как ${AC}=\sin\vartheta$ и ${OC}=\cos\vartheta,$ то $\ctg\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.$ Котангенс равен обратному значению тангенса: $\ctg\,\vartheta=\frac{1}{\tg\,\vartheta}.$

Секансом угла $\vartheta$ называется отношение длины отрезка ${OA}$ к абсциссе точки $A$. Обозначают $\sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.$ Так как длина отрезка ${OA}$ равна 1, то $\sec\vartheta=\frac{1}{OC}.$ Секанс равен обратному значению косинуса: $\sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.$

Косекансом угла $\vartheta$ называется отношение длины отрезка ${OA}$ к ординате точки $A$. Обозначают $\cosec \,\vartheta=\frac{OA}{AC}$ (в англоязычной литературе $\operatorname{csc}\vartheta ).$ Так как длина отрезка ${OA}$ равна $1$, то $\cosec \,\vartheta=\frac{1}{AC}.$ Косеканс равен обратному значению синуса: $\cosec \,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.$

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов: $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями $\tg\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\ctg\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и $\cosec \,x=\frac{1}{\sin x},$ можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций: $$\begin{align}\csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu]&= x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi,\end{align}$$ где $B_n$ — числа Бернулли. $$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n},$$где $E_n$ — числа Эйлера.

Определение тригонометрических функций через экспоненту

Определение тригонометрических функций через ряды эквивалентно следующему компактному определению тригонометрических функций, носящему имя формула Муавра: $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения тригонометрических функций на окружности.

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)
$\sin \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!$	${1}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	$\infty \,\!$	${0}\,\!$	$\infty \,\!$
$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!$	$\infty \,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${1} \,\!$	$\frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!$	${0}\,\!$	$\infty \,\!$	${0}\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	${2}\,\!$	$\infty \,\!$	${-1}\,\!$	$\infty \,\!$
$\cosec \, \alpha \,\!$	$\infty \,\!$	${2}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	$\frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!$	${1}\,\!$	$\infty \,\!$	${-1}\,\!$

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\tg \frac{\pi}{120}= \tg 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}}$

$\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(2+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right)$

$\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(\sqrt{2\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}+3\sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{17}+15 \right)}$

Свойства тригонометрических функций

Функция y = cos α — чётная, функции: y = sin α, y = tg α, y = ctg α — нечётные, то есть: $$\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha\,,$$ $$\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,,$$ $$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,.$$

Для острых углов $\alpha < \frac{ \pi}{2}\,\!$ справедливо: $$\sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,,$$ $$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,.$$

Для углов $0 < \alpha < \pi \,\!$ справедливо: $$\sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$\cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha\,,$$ $$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,.$$

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора: $$\left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,,$$ если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\,$$

Если разделить выражение (1) на $\cos^2 \alpha \,,$ то получим следующее тождество: $$1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \,$$

Если разделить выражение (1) на $\sin^2 \alpha \,,$ то получим следующее тождество: $$1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \,$$ или $$1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \,$$

Полезные тождества

$1\pm \sin x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2 \right )$

$1+\cos x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right )$

$1-\cos x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right )$

$1\pm \tg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x}$

$1\pm \ctg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x}$

$\sin^2(x)+\sin^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)-\cos(2y)\right ]$

$\sin^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2y)-\cos(2x)\right ]$

$\cos^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2+ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]$

$\cos^2(x)-\cos^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)-\cos(2y)\right ]$

$\sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)+\cos(2y)\right ]$

$\cos^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]$

$\sin^2(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \sin(2y) - \cos(2x) \cos(2y) +1 \right ]$

$\cos^2(x+y)=\frac 12 \left [ \cos(2x) \cos(2y) - \sin(2x) \sin(2y)+1 \right ]$

$\sin^2(x-y)=\frac 12 \left [1-\sin(2x) \sin(2y)-\cos(2x) \cos(2y) \right ]$

$\cos^2(x-y)=\frac 12 \left [1+\sin(2x) \sin(2y)+\cos(2x) \cos(2y) \right ]$

$\sin (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x \cos y$

$\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x \sin y$

$\sin (x+y)+\cos (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)$

$\sin (x+y)-\cos (x-y)=- 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)$

$\sin (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\cos(2y)-\cos(2x)]$

$\sin (x+y) \cos(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)+\sin(2y) \cos(2x) \right ]$

$\sin (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)+\sin(2y)]$

$\sin (x+y) \tg (x-y)= \frac {\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x-y)}$

$\sin (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\sin(2x)+\sin(2y)}{2\sin(x-y)}$

$\sin (x-y) \cos(x-y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)-\sin(2y) \cos(2x) \right ]$

$\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x \cos y$

$\cos (x+y)-\cos (x-y)=- 2\sin x \sin y$

$\cos (x+y)+\sin (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)$

$\cos (x+y)-\sin (x-y)= 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)$

$\cos (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\cos(2x)+\cos(2y)]$

$\cos (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)-\sin(2y)]$

$\cos (x+y) \tg (x-y)= \frac {\sin(2x)-\sin(2y)}{2\cos(x-y)}$

$\cos (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x-y)}$

$\tg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}$

$\tg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)+\cos(2y)}$

$\tg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}$

$\tg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2y)-\sin(2x)}$

$\tg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x+y)}$

$\tg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{2\cos(x+y)}$

$\tg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}$

$\tg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}$

$\ctg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}$

$\ctg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)+\sin(2y)}$

$\ctg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2y)-\cos(2x)}$

$\ctg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)-\cos(2y)}$

$\ctg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{2\sin(x+y)}$

$\ctg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x+y)}$

$\ctg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}$

$\ctg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{\cos(2y)-\cos(2x)}$

$\ctg x+ \tg x=\frac{2}{\sin(2x)}$

$\ctg x- \tg x=\frac{2 \cos(2x)}{\sin(2x)}$

$\tg^n x=\frac{\sin^n(2x)}{[1+\cos(2x)]^n}$

$\tg (3x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}-x\right )$

$\tg (5x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}-x\right )$

$\tg (7x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}-x\right )$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \cdot \sin x}$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2^{n+1} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}$

$\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{2^{n} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}$

$\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2x}$

$\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{x}$

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$( \tg x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},$

$( \ctg x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\tg x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,$

$\int\ctg x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,.$

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась अर्धज्या, ардха-джья̄ («полутетива»), затем слово ардха- (अर्ध) было отброшено и линию синуса стали называть просто джья̄ (ज्या). Но чаще использовался синоним джӣва, «живой» (जीबा). Арабские переводчики не перевели слово джӣва арабским словом ватар (وتر), обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса джӣба (произношение جيبا). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое ӣ в слове джӣба обозначается так же, как полугласная й (جيب), Герардо Кремонский интерпретировал слово как джайб, что буквально обозначает «впадина», «пазуха» и перевёл его на латынь словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса $\sin$ и косинуса $\cos$ введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens, «касающийся») и «секанс» (secans, «секущий») были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

См. также

• Редко используемые тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Теорема синусов
• Тригонометрические формулы
• Гиперболические функции

Ссылки

• GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
• Тригонометрические функции на MathWorld (англ.)